Вьета: формула, примеры, как решать, доказательство

      Комментариев к записи Вьета: формула, примеры, как решать, доказательство нет

Содержание

формула, примеры, как решать, доказательство

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Многие ученые прошлых веков открыли то, что остается актуальным до сих пор. Один из них — французский математик Франсуа Виет. В этой статье расскажем о его теореме и зачем она нужна.

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b2 − 4ac. Его свойства:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике

теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: .

Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

  1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

     

  2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

     

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

  1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

     

  2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

     

  3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a2 − b2. Получаем:

     

  4. Далее произведем трансформации в числителе:

     

  5. Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

     

  6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  7. Сократим:

     

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

 

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x

2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x

2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

  1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

  2. Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

    При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:

  1. Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

  2. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x2, то есть на 4.

  3. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
  4. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

  5. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 


 

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Шпаргалки по математике

К следующей статье

309.4K

Как определить площадь квадрата

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x2 + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x2 + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x2 + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение  является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x2 − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x2 − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x2 − 8x + 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x2 − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D1 = k2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5, так и равенству x1 × x2 = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x1 = 3, x2 = 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим −b

Значит x1 + x2 действительно равно −b

x1 + x2 = −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение станет равно просто D

Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x1 × x2 действительно равно c.

x1 × x2 = c

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6, так и равенству x1 × x2 = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8, но и равенству x1 + x2 = 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8, но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8, так и равенству x1 + x2 = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2, но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Значит корнями уравнения x2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x1 × x2 = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x2 = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x2 = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x2 − 18x + 45 = 0

Значит b = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Раскроем скобки:

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2, x2 = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит b = −10, c = 16. Отсюда:

x2 − 10x + 16 = 0

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x2 − 2x − 1 = 0

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

 

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Показать решение

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Показать решение

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Показать решение

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Виетта — Значение имени девочки, происхождение и популярность

Виетта — Значение имени для девочки, происхождение и популярность | BabyCenter
  • Сообщество
  • Беременность
  • Беременность
  • Имена детей
  • Ребенок
  • Малыш
  • Ребенок
  • Здоровье 9000 4
  • Семья
  • Курсы
  • Registry Builder
  • Детские товары

Реклама

Популярность имени Vietta

Популярность с течением времени

младенцев на миллион

Источник: Администрация социального обеспечения и данные пользователей BabyCenter

Реклама | страница продолжается ниже

Имена похожие на Vietta

как Vietta? Что насчет:

Элиза

Анита

Блэр

Валери

Коллетт

Делла

Виола

Вероника

Вена

Этта

Лидия

Маккензи

Имена для детей от А до Я

A

Имена для девочек, начинающиеся с буквы A

B

Имена для девочек, начинающиеся с буквы B

C

Имена для девочек, начинающиеся с буквы C

D

Девочка имена, начинающиеся с D

E

Имена для девочек, начинающиеся с E

F

Имена для девочек, начинающиеся с F

G

Имена для девочек, начинающиеся с G

H

Имена для девочек, начинающиеся с H

I

Имена для девочек, начинающиеся с I

J

Имена для девочек, начинающиеся с буквы J

K

Имена для девочек, начинающиеся с буквы K

L

Имена для девочек, начинающиеся с буквы L

М

Имена для девочек, начинающиеся с M

N

Имена для девочек, начинающиеся с N

O

Имена для девочек, начинающиеся с O

P

Имена для девочек, начинающиеся с P

Вопрос

Имена для девочек, начинающиеся с Q

R

Имена для девочек, начинающиеся с R

S

Имена для девочек, начинающиеся с S

T

Имена для девочек, начинающиеся с T

9 0028 У

Имена для девочек, начинающиеся с буквы U

V

Имена для девочек, начинающиеся с буквы V

W

Имена для девочек, начинающиеся с буквы W

X

Имена для девочек, начинающиеся с буквы X

Y

Имена для девочек, начинающиеся с буквы Y

Z

Имена для девочек, начинающиеся с буквы Z

A

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы A

B

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы B

C

Малыш Имена для мальчиков, начинающиеся с C

D

Имена для мальчиков, начинающиеся с D

E

Имена для мальчиков, начинающиеся с E

F

Имена для мальчиков, начинающиеся с F

G

Имена для мальчиков которые начинаются с G

H

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы H

I

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы I

J

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы J

K

имена, начинающиеся с K

L

Имена для мальчиков, начинающиеся с L

M

Имена для мальчиков, начинающиеся с M

N

Имена для мальчиков, начинающиеся с N

O

Имена для мальчиков, начинающиеся с O

С

Имена для мальчиков, начинающиеся с P

Q

Имена для мальчиков, начинающиеся с Q

R

Имена для мальчиков, начинающиеся с R

S

Имена для мальчиков, начинающиеся с S

9 0028 Т

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы T

U

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы U

V

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы V

W

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы W

X

Мальчик имена, которые начинаются с X

Y

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы Y

Z

Имена для мальчиков, начинающиеся с буквы Z

Реклама | страница продолжается ниже

Генератор имен для детей

*Пробелы необязательны, но чем больше информации вы введете, тем более точные имена для детей вы получите.

О структуре имени

Я ищу

 

 

имя, начинающееся с

 

Буква

Письмо

 

и заканчивающиеся на

 

Письмо

Письмо

 

в

 

 

слога.

О значении имени

Значение имени

 

Значение

Значение

 

и тема

  90 029  

.

Происхождение из

 

 

.

Узнайте больше об имени

Моя беременность по неделям

Объявление

11660 Vietta Ter, San Diego, CA 92126 | MLS# 210014547

OFF MARKET

Просмотр улиц

Просмотреть все 27 фотографий

Об этом доме

Факты о доме

Статус

Продано

Тип собственностиОтдельный

Сборы ТСЖ$45/месяц

Год Built1994

СообществоMira Mesa

Площадь участка 5 180 кв. футов

MLS#210014547

Информация о ценах

Redfin Estimate

$1,391,079

Цена за квадратный фут $659

Комиссия агента покупателя 9 0029 2,5%

Просмотр улиц

Схема проезда

Парковка

    Информация о парковке

  • Количество парковочных мест в гараже: 3
  • Количество парковочных мест вне гаража: 3
  • Тип гаража: Пристроенный
  • Парковка вне гаража: Подъездная дорога — Бетон

Интерьер

    Виртуальный тур

  • Виртуальный тур (Внешняя ссылка)
  • Виртуальный тур (Внешняя ссылка)

    Информация о спальнях

  • Количество спален: 4
  • Размеры главной спальни: 14×13
  • Размеры спальни 2 : 11 x 10
  • Спальня 3 Размеры: 13 x 10
  • Спальня 4 Размеры: 10 x 10

    Особенности интерьера

  • Ванна, встроенные элементы, потолочный вентилятор, высокие потолки (9Feet+), Кладовая, Встроенное освещение, Душ, Душ в ванне, Место для хранения, Потолок со сводчатым потолком, Кухня, открытая для всей семьи Rm
  • Оборудование: Посудомоечная машина, Утилизация, Сушка, Устройство для открывания гаражных ворот, Микроволновая печь, Холодильник, Стиральная машина, Встроенная серия , Газовая плита, плита/вытяжка, водопровод к холодильнику, столешница, газовая плита
  • Интерьер из гипсокартона
  • Пол: ковер, ламинат, плитка

    Отопление и охлаждение

  • Охлаждение: центральная принудительная подача воздуха
    • 9000 3 Источник тепла : Природный газ
  • Тепловое оборудование: камин, блок принудительной вентиляции

    Информация о прачечной

  • Расположение прачечной: прачечная
  • Коммунальные услуги прачечной: электричество, газ, подключение стиральной машины, газовой и электрической сушилки HU
904 06

Информация о помещении

  • Квадратные футы (приблизительно): 2 110
  • Размеры зоны для завтрака: 8 x 6
  • Размеры столовой: 10 x 9
  • Размеры семейного номера: 16 x 13
  • Размеры кухни: 13 x 11
  • Размеры гостиной: 15 x 13
  • Спальня на первом этаже, зона для завтрака, прихожая, столовая/отдельная, 2-я главная спальня, кухня, гостиная, главная спальня, прихожая, семейная кухня, фойе, дом Джека и Джилл, прачечная , главная ванная комната, гардеробная

    • Внешний вид

      Внешние особенности

    • Конструкция: Штукатурка
    • Ограждение: Полное, Ворота, Требуется ремонт, Плохое состояние
    • Патио: Бетон, Патио, Крыльцо — Фасад

      Характеристики объекта

    • Водосточные желоба, уличное освещение, пригородные
    • Безопасность: детектор дыма, детекторы угарного газа
    • Телекоммуникации: кабель (коаксиальный), компьютер (кат. 5)

      Информация о лоте

    • № Акры (приблизительно): 0,12
    • Размер участка: 4 000-7 499 кв. футов
    • Размер участка Источник: Запись оценщика
    • Тупик, Общественная улица, Тротуары, Улица с твердым покрытием, Ландшафтный дизайн, Разбрызгиватели спереди, Разбрызгиватели сзади
    • Вид: Вечернее освещение

      Информация о земле

    • Орошение: Автоматическое, капельное, разбрызгиватели
    • Топография: Уровень

    Финансы

    Коммунальные услуги

    90 406

    Информация о коммунальных услугах

  • Подключен кабель, подключено электричество, подключен природный газ, канализация Подключено, подключено к водопроводу
  • Подключено к канализации

      • Информация о воде

    • Счетчик на объекте
    • Тип водонагревателя: Газовый
    • Water District: CITY OF SAN DIEGO
    • Веб-сайт Water District (Внешняя ссылка)

    Местоположение

      Информация о ТСЖ

    • Периодичность платежей: Ежемесячно
    • ТСЖ Отражение сборов: 9000 в месяц 4
    • ТСЖ Название: Fieldstone Tiburon ТСЖ
    • ТСЖ Телефон: 858-550-7900
    • Плата за ТСЖ: 45 долларов США
    • Плата за ТСЖ (всего): 540 долларов США
    • Плата за ТСЖ включает: Обслуживание мест общего пользования

      Школьная информация 90 029

    • Объединенный школьный округ Сан-Диего,
    • https://www. sandiegounified.org/
    • Объединенный школьный округ Сан-Диего
    • https://www.sandiegounified.org/
    • Объединенный школьный округ Сан-Диего
    • Веб-сайт школьного округа (Внешняя ссылка)
    90 028 Другое

      Информация о листинге

    • Компенсация брокеру-покупателю: 2,5

    Информация об имуществе предоставлена ​​SDMLS при последнем листинге в 2021 году. Эти данные могут не совпадать с общедоступными записями. Узнать больше.

    • История продаж
    • Налоговая история
    • Публичные факты
    • Зонирование

    Краткий обзор зонирования

    Землепользование

    11660 Вьетта Тер имеет жилую зону инж. Разрешенные виды землепользования для этой собственности включают в себя односемейное, вспомогательное жилое помещение (аду), коммерческое и промышленное.

    5 391 долл. США в месяц

    30-летняя фиксированная ставка, процентная ставка 3,5%

    Выплата по ипотеке 3 952 долл. США

    Налог на недвижимость 1 146 долл. США

    Сборы за ТСЖ

    Страхование домовладельцев $293

    Коммунальные услуги и техническое обслуживание

    Способы экономии

    Просмотр ориентировочной стоимости электроэнергии и экономии солнечной энергии

    Интернет

    9007 2 Цена продажи дома

    Непогашенная ипотека

    Продажа через традиционного агентаПродажа с агентом Redfin

    +13 911 долларов

    Общая выручка от продажи

    463 806 долларов 477 717 долларов

    Комиссия агента продавца

    2,5% (34 777 долл. США) 1,5% (20 866 долл. США)

    Агент с полным спектром услуг

    Премиум-размещение на Redfin

    Бесплатные профессиональные фотографии

    Бесплатное прохождение в 3D

    Комиссия агента покупателя 9 0029 34 777 долл. США 34 777 долл. США

    Акцизный налог

    1 530 долл. США 1 530 долл. США

    Страхование титула

    3 302 долл. США 3 302 долл. США

    Плата за условное депонирование

    2 387 долл. США 2 387 долл. США

    Разное. Сборы

    1500 долларов 1500 долларов

    5240 долларов в месяц

    Сводный рейтинг GreatSchools

    Данные школы предоставлены некоммерческой организацией GreatSchools. Redfin рекомендует покупателям и арендаторам использовать информацию и рейтинги GreatSchools в качестве первого шага, а также провести собственное расследование, чтобы определить желаемые школы или школьные округа, в том числе связавшись с самими школами и посетив их. Redfin не подтверждает и не гарантирует эту информацию. Границы школьных услуг предназначены только для справки; они могут измениться, и их точность не гарантируется. Чтобы проверить право на зачисление в школу, свяжитесь напрямую со школьным округом.

    5 / 100

    Зависит от автомобиля

    Walk Score®

    0 / 100

    Минимальный транзит

    Transit Score®

    18 / 10 0

    Можно ездить на велосипеде

    Bike Score®

    О климатических рисках

    Большинство домов имеют некоторый риск стихийных бедствий и могут пострадать от изменения климата из-за повышения температуры и уровня моря.

    Данные о климатических рисках предоставляются только в информационных целях. Если у вас есть вопросы или отзывы об этих данных, обратитесь за помощью на Riskfactor.com и Climatecheck.com.


    Redfin не подтверждает и не гарантирует эту информацию. Предоставляя эту информацию, Redfin и ее агенты не дают советов или рекомендаций по рискам наводнений, страхованию от наводнений или другим климатическим рискам. Redfin настоятельно рекомендует потребителям самостоятельно исследовать климатические риски недвижимости для собственного удовлетворения.

    Продажи домов на одну семью (последние 30 дней)

    Тенденции в отношении домов на одну семью в северо-восточном Сан-Диего

    Дома на одну семью

    Все типы домов Дома на одну семьюТаунхаусыКондоминиумы/кооперативы

    Средняя цена продажи

    Средняя цена продажи# проданных домовСреднее количество дней на рынкеДома на одну семью

    Все типы домовДома на одну семьюТаунхаусыКвартиры/кооперативы

    Средняя цена продажи

    (Дома на одну семью) 90 029

    $1 136 000

    -13,3% г/г | Май 2023 г.

    На основе расчетов Redfin данных о домах из MLS и/или общедоступных записей.

    Северо-восточный Сан-Диего

    1 136 000 долларов США

    -13,3%

    Другие тенденции рынка в Северо-восточном Сан-Диего

    Рыночная конкуренция в северо-восточном Сан-Диего

    Рассчитано за последние 3 месяца

    84

    Высокая конкуренция

    Redfin Compete Score

    ™

    Redfin Compete Оценка показывает, насколько конкурентоспособна область по шкале от 0 до 100. , где 100 — наиболее конкурентоспособный.

    Рассчитано за последние 3 месяца

    • Многие дома получают несколько предложений, некоторые с отказом от непредвиденных обстоятельств.
    • В среднем дома продаются примерно за 2% выше прейскурантной цены и ждать около 9 дней .

    • Теплые дома

      могут быть проданы примерно за 5% выше прейскурантной цены и ожидают рассмотрения примерно через 6 дней .

    Сравните с соседними районами

    Что нужно, чтобы выиграть предложение недалеко от северо-восточного Сан-Диего

    • Предложение ~$950K

      4 недели назад

      90 028 3 спальни, 2,5 ванные комнаты, ~1500 кв. м. футов Кондоминиум

      Предложение не принято — продано за 1 млн долларов

      Цена выше прейскуранта

      1%

      Дней на рынке

      6

      Конкурирующие предложения

      7

      Первоначальный взнос

      ~20% 9 0029

      Этот таунхаус с 3 спальнями и 2,5 ванными комнатами в Сэйбер-Спрингс был оценен в 924 тысячи долларов. , мы предложили $940k, а встречного не получили (отправили SMCO в топ-4).

    Ближайшие недавно проданные дома

    Близлежащие дома, подобные 11660 Vietta Ter, недавно были проданы на сумму от 750 тыс. до 1 млн долларов по средней цене 625 долларов за квадратный фут.

    1 / 19

    ПРОДАН 2 МАЯ 2023

    1 / 18

    ПРОДАН 21 ФЕВРАЛЯ 2023

    1 / 42

    ПРОДАН 7 МАРТА 2023

    Посмотреть недавно проданные дома

    Дома Ценности Около 11660 Vietta Ter

    Данные из открытых источников.

    11653 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 266 040 долларов

    11671 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    5 спальных мест | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 275 836 $

    11674 Vietta Ter, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 207 045 $

    11670 Cheryl Ridge Ct, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 2 ванны | 1826 кв. футов

    		 1 324 619 $

    7531 Raven Ridge Pt, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 2 ванны | 1826 кв. футов

    		 1 149 282 долл. США

    7539 Raven Ridge Pt, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 2 ванны | 1826 кв. футов

    		 1 096 968 $

    11658 Frames Port Pl, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 249 651

    11661 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 $1 211 832

    11677 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 189 537 $

    11664 Vietta Ter, Сан-Диего, Калифорния

    5 спальных мест | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 238 726 $

    11662 Cheryl Ridge Ct, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 203 598 $

    7533 Raven Ridge Pt, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 320 39 $2

    11668 Frames Port Pl, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 272 565 $

    11654 Frames Port Pl, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 324 231

    11667 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 165 098 долларов

    11684 Вьетта Тер, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 2 ванны | 1826 кв. футов

    		 1 266 329 $

    11656 Vietta Ter, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 257 385 $

    11658 Cheryl Ridge Ct, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 267 194 $

    7537 Raven Ridge Pt, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1239 долларов США,704

    11662 Frames Port Pl, Сан-Диего, Калифорния

    5 кроватей | 3 ванны | 2165 кв. футов

    		 1 246 873 $

    11657 Cheryl Ridge Ct, Сан-Диего, Калифорния

    4 кровати | 3 ванны | 2110 кв. футов

    		 1 283 509 $
    Показать больше

    Часто задаваемые вопросы о 11660 Vietta Ter

    Что такое 11660 Vietta Ter?

    11660 Vietta Ter представляет собой дом площадью 2110 квадратных футов на участке площадью 5180 квадратных футов с 4 спальнями и 3 ванными комнатами. Этот дом в настоящее время не продается — последний раз он был продан 29 июня., 2021 за 1 100 000 долларов

    Сколько фотографий доступно для этого дома?

    Redfin имеет 27 фотографий 11660 Vietta Ter.

    Сколько стоит этот дом?

    Основываясь на данных Redfin в Сан-Диего, мы оцениваем стоимость дома в $1 391 079

    Когда этот дом был построен и продан в последний раз?

    11660 Vietta Ter был построен в 1994 году и последний раз продан 29 июня 2021 года за 1 100 000 долларов.

    Какова примерная стоимость аренды этого дома?

    По нашим оценкам, 11660 Vietta Ter можно арендовать по цене от 4,9 долларов США.21 и 6445 долларов.

    Насколько конкурентоспособен рынок этого дома?

    Основываясь на рыночных данных Redfin, мы подсчитали, что рыночная конкуренция в Мира Меса, районе этого дома, очень высока. Дома продаются примерно на 1% выше прейскурантной цены и ожидают рассмотрения примерно через 10 дней.

    Какие похожие дома находятся рядом с этим домом?

    Сопоставимые близлежащие дома включают 7715 Prairie Shadow, 7586 Windy Ridge Rd и 7804 Roan Rd.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *